LIMIT FUNGSI

LIMIT FUNGSI

A. Limit Fungsi Aljabar

Pengertian limit fungsi aljabar merupakan pengertian dasar hitung differensial dan hitung integral. Lebih

jelasnya pada contoh berikut ini.

Fungsi f didefinisikan sebagai

2

2

3

2

)

(

2

−

−

−

=

x

x

x

x

f

Jika variabel x diganti dengan 2 maka f (2) =00 , tetapi adakah bilangan yang akan didekati oleh f (x) jika nilai x

mendekati 2?................. oleh karena itu kita akan mempelajari masalah limit.

1. Pengertian limit

a.

L

x

f

Lima

x

=

→

)

(

, jika untuk x yang dekat dengan a (tetapi x≠ a) maka berlaku f (x) dekat dengan L.

a. Limit kiri fungsi, ditulis

L

x

f

Lima

x

=

−

→

)

(

, berarti nilai fungsi f makin dekat dengan a dari sebelah kiri a.

b. Limit kanan fungsi, ditulis

L

x

f

Lim

a

x

=

+

→

)

(

, berarti nilai fungsi f makin dekat dengan a dari sebelah kanan a.

c. Jika

L

x

f

Lim

maka

L

x

f

Lim

x

f

Lim

a

x

a

x

a

x

=

=

=

→

→

→

+

−

)

(

,

)

(

)

(

2. Pengertian limit secara matematis

L

x

f

Lima

x

=

→

)

(

ada artinya

ε

δ

δ

ε

<

−

⇒

<

−

<

∋

∃

>

∀

L

x

f

a

x

)

(

0

0

(lebih lanjut akan dijelaskan di bangku kuliah)

3. Menentukan limit fungsi aljabar

3.1Limit fungsi

a

x

untuk

x

f

x

f

→

→

)

(

:
Dengan cara substitusi langsung. Cara ini dilakukan dengan mensubstitusikan nilai-nilai x = a, ke dalam f (x),
apabila didapat:

a. f (a) = h, berarti

h

x

f

Lima

x

=

→

)

(

b. f (a) =

∞

=

→

)

(

,

0

x

f

Lim

berarti

h

a

x

c. f (a) =

0

)

(

,

0

=

→

x

f

Lim

berarti

h

a

x

d.

00

)

(=

a

f

, maka:

(1) Bentuk f (x) difaktorkan sehingga

00

)

(≠

a

f

kemudian disubstitusikan lagi.

(2) Bentuk f (x) dikalikan dengan sekawan pembilang dan atau penyebut sehingga

00

)

(≠

a

f

kemudian

disubstitusikan lagi.

Ringkasan Materi

MATEMATIKA (kelas XI)

Subjek:Matematika/Materi:Fungsi

Grafik contoh sebuah fungsi,

Baik domain maupun kisaran dalam gambar adalah himpunan bilangan riil di antara -1 dan 1,5

Fungsi adalah hubungan antara dua himpunan bilangan. Sama seperti pemetaan; sebuah fungsi.

---

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.

Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.

Notasi

Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.

Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.

atau

Fungsi sebagai relasi

Sebuah fungsi f dapat dimengerti sebagai relasi antara dua himpunan, dengan unsur pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.

Domain dan Kodomain

Pada diagram di atas, X merupakan domain dari fungsi f, Y merupakan kodomain

Domain adalah daerah asal, kodomain adalah daerah kawan, sedangkan range adalah daerah hasil

Jenis-jenis fungsi

Fungsi injektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a₁ dan a₂ dengan a₁ tidak sama dengan a₂ berlaku f(a₁) tidak sama dengan f(a₂). Dengan kata lain, bila a₁ = a₂ maka f(a₁) sama dengan f(a₂).

Fungsi surjektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

Fungsi bijektif

Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.

MATEMATIKA (kelas IX)

Aljabar

Aljabar berasal dari Bahasa Arab "al-jabr" yang berarti "pertemuan", "hubungan" atau "perampungan" adalah cabang matematika yang dapat dicirikan sebagai generalisasi dari bidang aritmatika. Aljabar juga merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam sebuah bidang.

Buku karangan Al-Khwārizmī yang memuat perhitungan aljabar

Jenis-jenis Aljabar

Aljabar dapat dipilah menjadi kategori berikut:

• Aljabar dasar, yang mencatat sifat-sifat operasi bilangan riil, menggunakan simbol sebagai "pengganti" untuk menandakan konstanta dan variabel, dan mempelajari aturan tentang ungkapan dan persamaan matematis yang melibatkan simbol-simbol tersebut.

• Aljabar abstrak, yang secara aksiomatis mendefinisikan dan menyelidiki struktur aljabar seperti kelompok matematika, cincin matematika dan matematika bidang.

• Aljabar linear, yang mempelajari sifat-sifat khusus ruang vektor (termasuk matriks).

• Aljabar universal, yang mempelajari sifat-sifat yang dimiliki semua struktur aljabar.

• Aljabar komputer, yang mengumpulkan manipulasi simbolis benda-benda matematis.

Pengertian bentuk aljabar

Bentuk-Bentuk seperti 2a , -5b, x3, 3p + 2q disebut bentuk aljabar.Pada bentuk aljabar 2a, 2 disebut koefisien, sedangkan a disebut variabel( peubah ).

Bentuk-bentuk aljabar

Persamaan dan pertidaksamaan linear

• Persamaan Linear Satu Variabel

Persamaan Linear Satu Variabel berarti persamaan pangkat satu. Pada persamaan linear ini berlaku hukum :

1. Ruas kiri dan ruas kanan dapat ditambahkan atau dikurangi bilangan yang sama
2. Ruas kiri dan ruas kanan dapat dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.

Contoh :

r:10

1. r + 3 = 10.

r + 3 - 3 = 10 - 3 (sama sama dikurangi dengan bilangan yang sama yaitu 3)
 r = 7

2. 3p = 12

3p / 3 = 12/3 (sama-sama dibagi dengan bilangan yang sama yaitu 3)
 p = 4

• Pertidaksamaan Linear satu variabel

Pertidaksamaan linear satu variabel berarti kalimat terbuka yang memiliki tanda <,>, Pada persamaan linear berlaku hukum:

1. Ruas Kiri dan kanan dapat ditambah, dikurangi, dikali, atau dibagi bilangan yang sama
2. jika variabel bertanda minus, harus diganti menjadi positif dengan mengali bilangan negatif dan membalikan tanda

contoh : 1. 5v - 7 > 23

5v - 7 + 7 > 23 + 7
 5v / 5 > 30 / 5
 v > 6

2. -2a < 10

-2a / -2 > 10 / -2
 a > -5